Linearized General Relativity on Hyperboloidal Slices

O tratamento do infinito nulo futuro na Relatividade Numérica é ainda um problema em aberto. A sua relevância deve-se ao facto de ser o único “local” no espaço-tempo onde a radiação gravitacional pode ser medida de forma inequívoca, e de corresponder também à idealização adequada de observadores de eventos astrofísicos. A precisão das formas de onda extraídas das simulações numéricas é crucial para estimar a correta propriedades das fontes de radiação gravitacional observadas pelos interferómetros.

Atualmente, essas formas de onda são calculadas por extrapolação ou por extração/evolução Cauchy-característica. No entanto, esses métodos são insatisfatórios do ponto de vista de primeiros princípios. Neste trabalho, adotamos uma abordagem alternativa – o método hiperboloidal –, em que o espaço-tempo é foliado em hipersuperfícies espaciais que se estendem até ao infinito nulo futuro. Para isso, introduzimos novas coordenadas que compactificam o espaço-tempo. Nestas coordenadas, as equações de onda têm termos formalmente singulares, o que podemos superar considerando a taxa de decaimento dos campos e redimensionando-os tal que as equações se tornem regulares no infinito nulo futuro.

Para entender melhor a taxa de decaimento dos campos, apresentamos o modelo good-ugly e mostramos que reproduz o comportamento das equações linearizadas de Einstein. Implementamos a abordagem hiperboloidal para as equações do modelo e mostramos que elas são regulares no infinito nulo futuro.

Para a implementação numérica, usamos o código NRPy+, e resolvemos as equações em primeira ordem no tempo e no espaço com dados iniciais axialmente simétricos numa grelha que não inclui os extremos. Verifica-se convergência, indicando um resultado bem-sucedido. Uma abordagem semelhante pode ser feita para a Relatividade Geral completa, embora com complicações adicionais.