Symmetry Conservation in General Relativity. An Application of the Initial Value Problem

Neste documento trata-se o problema do valor inicial (PVI) em Relatividade Geral (RG), bem como algumas das suas aplicações. São discutidos alguns formalismos matemáticos necessários - folheações, resultados sobre equações diferenciais parciais em espaços tempos curvos, e spinors. Com estas ferramentas, esboçam-se os traços gerais do PVI e alguns dos principais resultados na área, tais como o teorema de Choquet-Bruhat para a existência e unicidade de desenvolvimentos de Einstein em vácuo e o subsequente enfraquecimento das condições de regularidade dos dados iniciais, feito por Planchon e Rodnianski.

Segue-se uma discussão acerca da estrutura causal destes desenvolvimentos de Einstein, bem como da inclusão de matéria através do tensor de energia-momento e de torção na conexão, generalizando-se resultados disponíveis na literatura. Passa-se de seguida ao estudo da questão da conservação de simetria de Killing no desenvolvimento de dados iniciais, obtendo-se uma equação de propagação hiperbólica e não-homogénea para a derivada de Lie da métrica enquanto quantidade zero.

Analisa-se o termo não-homogéneo em pormenor - uma colineação do tensor de Ricci - e apresentam-se dois exemplos de campos de matéria, um dos quais admite conservação da simetria com condições relativamente fracas - o campo escalar massivo de Klein-Gordon - e outro - o campo eletromagnético - que requer restrições mais fortes para garantir preservação da simetria.

Termina-se discutindo um tópico semelhante: o problema de valor inicial para twistors, spinors de Killing. Estuda-se a propagação da chamada equação dos twistors em variedades planas, usada para obter uma caracterizar espaços-tempos de Minkowski e de ondas planas ao nível das condições iniciais.